xx数学講座
で今日は
A)順序体Ｋが順序完備であること
B)順序体Ｋの点列が単調増加で上に有界なら収束し単調減少で下にに有界なら下限を持つ。
を証明する。
穴が結構あると思う。
- A)→B)
結構簡単発想が自然。
順序体Ｋの中で
単調増加且つ上に有界な点列A（n）に対し
Ｐ＝｛A(n)属することのＫ｜ｎ属することのＮ｝Ｎは自然数全体
を考える
A)を仮定すればｐ＝supＰが存在する。
次にA(n)がｐに収束することを証明する。
ｐはＰの上限だから
全てのe>0に対して０＜p-A（m）＜eとなるA（m)が存在する。
ところでこのようなｍを持ってくれば
A(n)は単調増加なので
全てのn>mならば|p-A（n）|＜eとなる
よってA(n)はｐに収束する。
下限に関しても同様
よってA)→B)
- B)→A)
一ひねりあるけど、ちょこっと難しい気がしたけどやっぱり収束先と上限が一致しなかったら変だってことを上手く言えたらよい。
B)を仮定する
眠いのでここまで
