xx数学ノート

講座というほどの内容は書いていないと思うので題を変えた。

昨日の続きを書かねば、
Ｋの中の部分集合A中の一元aとAの上界の一元bをもってくる。
anを次のように定義する。
a（０）＝a
a（n+1）＝an+1/2＾ｎ（b-a）
ただし上の定義でa(n+1)がAの上界になる場合は
a（n+1）＝an
こうしてできるanは上に有界且つ単調増加なので収束先αをもつ。

次にαがAの上限になることを示す。
手順はαがまずAの上界に属すること
次にαより小さいAの上界が存在しないことを示す。

ここまで言ったらもう後はくどいだけかと思ったら。
必ずしも順序体で1/2＾ｎ（b-a）が任意のeより小さくなるとは限らない。
なるほどここでアルキメデス的であることが効いて来る。

補題１。B)を仮定するとＫはアルキメデス的である。
アルキメデス的でないとするとＮは上に有界である。
ところでan＝ｎとすると仮定Ｂ）より収束先があるはずだけど。
そんなものはない。
よってＢ）を仮定するとＫはアルキメデス的である。

もうだいたい証明終わり。